举几个例子弄清复立叶变换的应用

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楼主 2018-06-27 04:53:44
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问:怎么每天都能免费收到这种好文章呢?

答:只需点上边《51单片机学习网》免费关注!


注:本文转自21IC,作者 highgear。

下面两道题关于使用复利叶变换的, 这应该是很常见的嵌入式问题:
A)??系统用 adc (小于 16-bit) 采样 50Hz 交流电流电压, 采样频率800hz, 试求出电流电压幅值以及功率和功率因数。
B)??上面的50hz 电压中, 混入了另一个 55hz 的电压, 求出这两个电压的幅值。

这两道题使用 16-bit, 32-bit 的整数运算, 不使用浮点运算, 可以在 mcu 上实现。
C)??完成一个 wav 声音文件的变速不变调的程序。

(1)复数的基础知识

在讲解 fourier transform 前, 大家必须知道一点基本的复数知识。

在复平面上的一个点 P (x, y) 用复数表示为:??
? ?? ?P = x + i y
用极坐标表示为:
? ?? ? P = r * e^(i a)
这里,??r = sqrt(x*x + y*) 是点 (x, y) 到原点的距离, a = arctan2(x, y) 是角度, e 是自然常数。这里引出了一个非常重要的表达式:
? ?? ?
?e^(i a)?= cos(a) + i sin(a)

这个表达式,是利用复数完成角度变换和三角函数变换的利器。例如,把点 P 旋转 b 角度,那么新点(x1, y1) 的角度为 a+b, 距离仍为 r.
? ?? ?P1 = x1 + i y1
? ?? ?? ?= r * e^(i (a+b))?
? ?? ?? ?= r*e^(i a) * e^(i b)?
? ?? ?? ?= (x + i y) * (cos(b)??+??i sin(b))
? ?? ?? ?= (x * cos(b) - y * sin(b)) + i ( y * cos(b) + x * sin(b))

? ?? ???
(2)??傅里叶变换的基础知识
傅里叶变换是一个积分变换, 公式就不提供了, 有兴趣的同学可以直接访问下面的连接, 以获得更详尽的解释:
http://zh.wikipedia.org/zh-cn/%E5%82%85%E9%87%8C%E5%8F%B6%E5%8F%98%E6%8D%A2

(3) 离散傅里叶变换(DFT)
http://zh.wikipedia.org/zh-cn/%E7%A6%BB%E6%95%A3%E5%82%85%E9%87%8C%E5%8F%B6%E5%8F%98%E6%8D%A2
离散傅里叶变换的公式:
? ?? ??X(k)??= ∑ x(n) * e^(i -2*PI* n/N * k) / N
这里 X(k) 是第 k 次谐波的复数;N 为周期采样点数;x(n)为输入,n从0 到N-1;? ???

用伪代码更直观地说明:
? ?void CalculateHarmonic(Complex* X, int harmonic)?
? ?{
? ?? ?? ? for (int i=0; i
? ?? ?? ?? ?? ? X->Image = x(i) * sin(-2*PI* i/N * harmonic) / N;?
? ?? ?? ?}
? ? }

可以看到,离散傅里叶变换基本运算其实很简单, 没有那么复杂。只要有了 N 个输入,比如说通过AD 采样了 N 个数据后,可以轻易的计算出各个谐波,虽然计算量大了些。下面要做的就是减少计算量,这可以用两种方法, 一种当然就是熟知的 FFT, 还有一种就是递推。

(3)??递推离散傅里叶 (Recursive DFT)
傅里叶变换是一个积分变换,积分当然可以使用迭代递推来减少运算,尤其是周期性的函数。只要把最后一个数据仍出去,保持其他 N-1 个数据不变,加入一个新的数据就可以了。为了理解这一点,先考虑一下移动平均滤波算法:
? ?? ???Y(k-1) = (x(k-1) + x(k-2) + … + x(k-N)) /N
上面的这个公式可以写成迭代也就是递推的形式:
? ?? ???Y(k) = Y(k-1) + (x(k) – x(k-N)) /N
同理,由于sin, cosin函数的周期性,dft 可以由多项式乘法和的形式变换成迭代递推的形式:

? ?? ???Y(k) = Y(k-1) + x(k) * e^(i -2*PI* k /N * harmonic) / N? ?
? ?? ?? ?? ?? ?? ?? ?- x(k - N) * e^(i -2*PI* (k–N) /N * harmonic) / N
? ?? ?? ?? ?= Y(k-1) + (x(k) - x(k- N)) * e^(i -2*PI* k /N * harmonic) / N

C 代码:
? ?? ???x(i) = GetFromADC();
? ?? ? X->Real??+=??(x(i) – x(i-N)) * cos( 2*PI* i/N * harmonic) /N;
? ?? ? X->Image +=??(x(i) – x(i-N)) * sin(-2*PI* i/N * harmonic) /N;?

由于 cos, sin 是周期函数,所以 cos(2*PI* (i * harmonic) / N) 与cos(2*PI* (i * harmonic % N) / N) 是一样的,(i * harmonic % N) 的取值范围:0 to N-1.


总结一下:
傅里叶变换可以很深奥, 也可以很浅显。对于离散的傅里叶变换的公式, 只要认真的看看很容易看明白, 更何况还有代码说明。通过理解 dft 如何计算出某一个谐波, 就可以进一步计算出所有谐波, 再想象一下, 某一个算法, 可以快速的计算出所有的谐波, 这样, 就可以很容易的理解 fft.


(5) 问题 A 的解答
在上面的代码?CalculateHarmonic(Complex* X, int harmonic)?中可以看出dft 的各次谐波计算是独立的, 不依赖其它次谐波。而且,问题 A 不需要计算2次(100hz),3次(150hz)等等谐波,这是 dft 的优点之一。首先,定义两个复数的结构:



typedef short int16;

typedef int int32;

typedef struct SComplex

{

int16 R;

int16 I;

} Complex;

typedef struct SComplex32

{

int32 R;

int32 I;

} Complex32;



接着, 定义两个常数以及电压电流的结构:



#define N 16? ?? ? //每周期采样点数

#define LOG2_N 4? ?// log2(N)


struct UI {

Complex??U;? ?? ?? ?//电压的结果

Complex??I;? ?//电流的结果

??int16??Voltage[N]; //先前的 N 个电压

int16??Current[N];? ?//先前的 N 个电流

Complex32 UAcc;??//电压的累加器

Complex32 IAcc;? ?//电流的累加器

int? ?Index;??//迭代索引计数器, 8-BIT MCU 可以为 char, 如果 N < 256.

Complex??W[N];??//N 点的 cos, sin 系数

} ui;


初始化,cos, sin 系数数组应该事先计算好:



void UI_Init()

{

for (int i=0; i

??ui.W[i].R = (int16) (::cos( 2*3.1415927*i/N) * (1<<14) + 0.5); //应离线计算!!!

??ui.W[i].I = (int16) (::sin(-2*3.1415927*i/N) * (1<<14) + 0.5);

??ui.Voltage[i] = 0;

??ui.Current[i] = 0;

}

ui.UAcc.R = 0; ui.UAcc.I = 0;

ui.IAcc.R = 0; ui.IAcc.I = 0;

ui.Index = 0;

}



下面的代码不断递推, 可以求出电压和电流的复数:



void UI_Calculate(int16 voltage, int16 current)

{

int16 d;

d = voltage - ui.Voltage[ui.Index];

ui.Voltage[ui.Index] = voltage;

ui.UAcc.R += (d * ui.W[ui.Index].R) >> (13 + LOG2_N - 16);

ui.UAcc.I += (d * ui.W[ui.Index].I) >> (13 + LOG2_N - 16);

ui.U.R = (int16) (ui.UAcc.R >> 16);

ui.U.I = (int16) (ui.UAcc.I >> 16);

d = current - ui.Current[ui.Index];

ui.Current[ui.Index] = current;

ui.IAcc.R += (d * ui.W[ui.Index].R) >> (13 + LOG2_N - 16);

ui.IAcc.I += (d * ui.W[ui.Index].I) >> (13 + LOG2_N - 16);

ui.I.R = (int16) (ui.IAcc.R >> 16);

ui.I.I = (int16) (ui.IAcc.I >> 16);


ui.Index = (ui.Index + 1) & (N-1);

}

上面的计算dft计算使用的是 16-bit, 32-bit 的定点运算,这里需要把电压和电流单位化。比如系统最大电压幅值为 Vmax = 400V,最大电流幅值 Imax = 20A, 在数字系统中统一归一化:??Q15 = 2^15 = 32768. 即 Vmax,Imax在数字系统对应Q15 = 32768. 因此,演示主程序中的:
? ???8000 ---〉8000/Q15 * Vmax??=??97.66V
? ???4000 ---〉4000/Q15 * Imax??=? ?2.441A
至于功率,很简单, 用电压乘以电流的轭(用 j 来代替复数i, 以免混淆):
? ???P + jQ = U*I’ = (ui.U.R + j ui.U.I) * (ui.I.R – j ui.I.I)?
P是有功功率, Q是无功功率;?
功率因数为:cos(theta) = P / sqrt(P*P +Q*Q)? ???



visual c++下的演示主程序 :

#include "stdafx.h"

#include "Math.h"

#include "stdio.h"

#include "UI.h"

#define Magnitude(c) ((int) sqrtf(c.R*c.R + c.I*c.I))

#define PI 3.14159265f

int _tmain(int argc, _TCHAR* argv[])

{

int16 voltage, current;

Complex PQ;

UI_Init();

for (int i=0; i<1000; i++) {

??voltage = (int16) (::sin(2*PI*i/N)*8000);? ? //模拟采样电压

??current = (int16) (::sin(2*PI*i/N + PI/3)* 4000);  //模拟采样电流

??UI_Calculate(voltage, current);?

}

PQ.R = (ui.U.R * ui.I.R + ui.U.I * ui.I.I) >> 15;

PQ.I = (ui.U.I * ui.I.R - ui.U.R * ui.I.I) >> 15;

printf("Voltage: %d\n",??Magnitude(ui.U));

printf("Cuurent: %d\n",??Magnitude(ui.I));

printf("Power Factor: %d\n", PQ.R * 1000 / Magnitude(PQ));

::getchar();

return 0;

}


结果

Voltage: 8000
Cuurent: 3999
Power Factor: 500


6)?问题?B?的解答
现在大家已经知道了,?DFT?可以单独的计算各个谐波。这道题,同样可以用?DFT?来做,?当然也可以用?FFT?来做。?50Hz与?55hz?相差?5Hz,?所以必须采用?5Hz?的分辨率。采样频率为800Hz,?
周期T800 = 1.25ms;?
5Hz周期T5 = 200 ms.?因此,5hz?数据窗口的长度为?N = T5 / T800 = 160,这样50Hz, 55Hz就分别是10,11次谐波。


定义常数:

#define N 160

#define LOG2_N 8

计算?cos, sin系数。注意 (1<<(14 + LOG2_N)) / N 的作用


? ? for (int i=0; i

? ?? ???ui.W[i].R = (int16) (::cos( 2*3.1415927*i/N) * (1<<(14 + LOG2_N)) / N + 0.5);

? ?? ???ui.W[i].I = (int16) (::sin(-2*3.1415927*i/N) * (1<<(14 + LOG2_N)) / N + 0.5);

? ?? ???ui.Voltage[i] = 0;

? ? }



计算:


void UI_Calculate(int16 voltage)

{

? ? int16 d;

? ? int i;

? ? d = voltage - ui.Voltage[ui.Index];

? ? ui.Voltage[ui.Index] = voltage;

? ? i = (ui.Index * 10) % N;

? ? ui.U10_Acc.R += (d * ui.W[i].R) >> (13 + LOG2_N - 16);

? ? ui.U10_Acc.I += (d * ui.W[i].I) >> (13 + LOG2_N - 16);

? ? ui.U10.R = (int16) (ui.U10_Acc.R >> 16);

? ? ui.U10.I = (int16) (ui.U10_Acc.I >> 16);


? ? i = (ui.Index * 11) % N;

? ? ui.U11_Acc.R += (d * ui.W[i].R) >> (13 + LOG2_N - 16);

? ? ui.U11_Acc.I += (d * ui.W[i].I) >> (13 + LOG2_N - 16);

? ? ui.U11.R = (int16) (ui.U11_Acc.R >> 16);

? ? ui.U11.I = (int16) (ui.U11_Acc.I >> 16);


? ? ui.Index = (ui.Index + 1) % N;

}


注意 ?(13 + LOG2_N - 16) 的作用。

演示主程序:


int _tmain(int argc, _TCHAR* argv[])

{

? ? UI_Init();

? ? float Hz50 = 2 * PI * 50 / 800;

? ? float Hz55 = 2 * PI * 55 / 800;

? ? for (int i=0; i<1000; i++) {

? ?? ???UI_Calculate((int16) (::sin(Hz50*i)*8000 + ::sin(Hz55*i)* 4000));

? ? }

? ? printf("50Hz: %d\n",??Magnitude(ui.U10));

? ? printf("55Hz: %d\n",??Magnitude(ui.U11));

? ? ::getchar();

? ? return 0;

}? ???




结果:
50Hz: 8000
55Hz: 4000


上面的例子有一个问题就是 N=160,这对于小ram容量的 mcu 来说, 不太合适。我们可以做一些改动。一是改变采样频率, 二是保持采样频率不变,跳过几个点,变相的改变采样频率。这里我们可以每采样5次,计算一次, 这样 N =160/5=32.

#define N 32
#define LOG2_N 5


 for (int i=0; i<1000; i++) {
??  if ((i % 5) == 0)?
? ?    UI_Calculate((int16) (::sin(Hz50*i)*8000 + ::sin(Hz55*i)* 4000));
 }

得到了一样的结果,而数据buffer 为 32, 可以计算出上到 15 次谐波。


介绍完 DFT, 下面轮到FFT. 我现在发现变速不变调不适合作为 FFT 的例子, 因为变速不变调涉及了很多其他的概念, 验证程序用 matlab 做的, 虽然不长, 但是用了 matlab 里 FFT, IFFT 的命令, 所以没有典型性。而DFT/FFT与逆变换 IDFT/IFFT 的定点 c/c++ 程序都是我自己做的, 可以更详细的讲解。?

FFT 容我这两天设想一个经典的例子, 另外开一个帖子讲解。


总结:

傅里叶变换的实质是把一个信号通过正交分解(e^(jωt) =?cos(ωt)?+ j sin(ωt)??), 分解成无数的正弦信号, 而这些无数的正弦信号还可以重新被合成为原来的信号。就像白光通过三棱镜分解成光谱, 再通过三棱镜可以被还原成白光一样,??傅里叶变换就是那个三棱镜, 或者说三棱镜就是一个傅里叶变换。

? ?? ?? ?? ?? ?? ?? ?? ? e^(jωt) =?cos(ωt)?+ j sin(ωt)?

可以看做钟表的指针以的角速度?ω?旋转时, 指针在纵横两个方向上的投影, 在横轴上的投影就是?sin(ωt)?. 假设两个不同时间的钟表叠放在一起, 你坐在其中的一个秒指针上, 你会发现另一块表的秒指针是静止的, 并且在你的指针上的投影是固定的。现在设想一下很多块表的秒指针以不同的速率旋转, 而你所乘坐的秒指针可以控制旋转速率, 那么你会发现, 总可以使某一个秒指针看上去是静止的, 即在你的指针上的投影是常数,与速度无关。?

傅里叶变换出来的是什么? 以离散的傅里叶变换DFT/FFT 来说明,对N点的数据做傅里叶变换,得到了 N/2 个复数, 这每一个复数实际上代表了一个正弦波, 假设 采样频率为 F, 那么基本频率为? ?ω0 = 2*PI*F/N

这 N/2 个复数:
? ?? ?Y[0] = x0 + j y0 :??ω??= 0,??即 DC.?
? ?? ?Y[1] = x1 + j y1 = r1* e^(j a1)??:? ?ω??=? ???ω0,?代表正弦波?r1* sin(? ??ω0 * t??+ a1)
? ?? ?Y[2] = x2 + j y2 = r2* e^(j a2)??:? ?ω??= 2*?ω0,?代表正弦波?r2* sin(2*?ω0 * t??+ a2)
? ? ....
? ????Y[k] = xk + j yk = rk* e^(j ak)??:? ?ω??= k*?ω0,???代表正弦波?rk* sin(k*?ω0 * t??+ ak)
? ? ...
? ?? ?Y[N/2 - 1] =


所以, 这些复数的意义在于正弦波的代表, 不是一般意义上的复数。把上面的正弦波叠加在一起, 又可以得到原来的波形。


首先, 我贴出的DFT程序都是我自己写的, 而且有汇编的版本。 大家已经看到了, c 版本完全使用了16-bit 整数乘法, 32-bit 加法以及少量的移位操作,?除法(主要是 %,用于非 2的次方的 N) 可以完全避开。?可以设定在每次定时中断里采样后计算, 由于递推, 计算量很低(2个16bit乘法, 2个32bit 加法)。 唯一的问题是, 必须使用定点 scale 转换以避免浮点运算, 这不如直接使用浮点直观, 对没有处理经验的程序员可能是一个挑战。虽然演示程序为了通用起见用了 PC, 但是dft 算法程序用在 avr, 51等 8-bit mcu 是完完全全没有问题的。不要再说出单片机不能实现的胡话出来。?

FFT程序我也有汇编的版本,??C/C++ 版本也是采用了16-bit 整数乘法, 32-bit 加法以及少量的移位操作,?效率很高, 不过在??8-bit??mcu 上可能用不上, 因为, 数据窗口点数少了, 用 dft 更好,??数据窗口点数多了, 8-bit mcu 上太慢, 不实用。 因此我就不介绍了。

最后, 我贴出我用?matlab?做的变速不变调的算法验证程序, 作为结束。

简单的讲一讲原理:
下面的程序使用了短时博立叶变换(short time fourier transform),??窗口函数为 hamming。?
1) 短时博立叶变换, 这里的片断 segment = N/4, 数据被分割为 0 到??N-1,??N/4 to N+N/4-1, N/2 to N+N/2-1, 依次类推。?
2) 做 fft, 计算出幅度和相位。
3)计算新的幅度和相位。幅度通过插植, 相位得把??wt 计入:?da(2: (1 + NX/2)) = (2*pi*segment) ./ (NX ./ (1: (NX/2)));
4)用新的幅度和相位产生新的复数, 加窗并作 ifft 生成变速后的音频数据。


SPEED = 2;


[in_rl, fs] = wavread('C:\windows\Media\Windows XP Startup.wav');

in = in_rl(:, 1)';

sizeOfData = length(in);


N = 2048;

segment = N/4;

window = hamming(N)';

X = zeros((1+ N/2), 1 + fix((sizeOfData - N)/segment));

c = 1;

for i = 0: segment: (sizeOfData - N)

? ?? ?fftx = fft(window .* in((i+1): (i+N)));

? ?? ?X(:, c) = fftx(1: (1+N/2))';

? ???c = c + 1;

end;


[Xrows, Xcols] = size(X);

NX = 2 * (Xrows - 1);

Y = zeros(Xrows, round((Xcols - 1) / SPEED));


da = zeros(1, NX/2+1);

da(2: (1 + NX/2)) = (2*pi*segment) ./ (NX ./ (1: (NX/2)));

phase = angle(X(:, 1));

c = 1;

for i = 0: SPEED: (Xcols-2)

? ?? ? X1 = X(:, 1 + floor(i));

? ?? ?X2 = X(:, 2 + floor(i));?

? ?? ?df = i - floor(i);

? ?? ?magnitude = (1-df) * abs(X1) + df * (abs(X2));

? ?? ?dangle = angle(X2) - angle(X1);?

? ?? ?dangle = dangle - da' - 2 * pi * round(dangle/(2*pi));

? ?? ?Y(:, c) = magnitude .* exp(j * phase);

? ?? ?phase = phase + da' + dangle;

? ?? ?c = c + 1;

end


[Yrows, Ycols] = size(Y);

out = zeros(1, N + (Ycols - 1) * segment );

c = 1;

for i = 0: segment: (segment * (Ycols-1))

? ?? ? Yc = Y(:, c)';

? ?? ? Ynew = [Yc, conj(Yc((N/2): -1: 2))];

? ?? ? out((i+1): (i+N)) = out((i+1)i+N)) + real(ifft(Ynew)) .* window;

? ?? ?c = c + 1;

end;

wavplay(out, fs);

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